概率论基础 - 17 - 卡方分布
卡方分布 是概率论与统计学中常用的一种概率分布，k个独立的标准正态分布变量的平方和服从自由度为k的卡方分布，本文介绍相关内容。。
简介卡方分布（英语：chi-square distribution, χ²-distribution，或写作χ²分布）是概率论与统计学中常用的一种概率分布。k个独立的标准正态分布变量的平方和服从自由度为k的卡方分布。卡方分布是一种特殊的伽玛分布，是统计推断中应用最为广泛的概率分布之一，例如假设检验和置信区间的计算。
由卡方分布延伸出来皮尔逊卡方检验常用于：
样本某性质的比例分布与总体理论分布的拟合优度（例如某行政机关男女比是否符合该机关所在城镇的男女比）；同一总体的两个随机变量是否独立（例如人的身高与交通违规的关联性）；二或多个总体同一属性的同素性检验（意大利面店和寿司店的营业额有没有差距）。定义 相互独立且符合标准正态分布的随机变量（数学期望为0、方差为1），则随机变量Z的平方和
X=\sum_{i=1}^{k} Z_{i}^{2} 被称为服从自由度为 k 的卡方分布，记作
\begin{aligned} X & \sim \chi^{2}(k) \ X & \sim \chi_{k}^{2}\end{aligned}性质概率密度函数
累计分布函数
性质参数参数
描述
自由度
$ k \in \mathbb{N}^{\star} $
值域
$ x \in[0 ;+\infty) $
概率密度函数
$\frac{1}{2^{\frac{k}{2}} \Gamma\left(\frac{k}{2}\right)} x^{\frac{k}{2}-1} e^{-\frac{x}{2}}$
累计分布函数
$\frac{1}{\Gamma\left(\frac{k}{2}\right)} \gamma\left(\frac{k}{2}, \frac{x}{2}\right)$
期望
$k$
中位数
$\approx k\left(1-\frac{2}{9 k}\right)^{3}$
众数
$\max {k-2,0}$
方差
$2k$
偏度
$\sqrt{8 / k}$
峰度
$12 / k$
熵
$\frac{k}{2}+\ln (2 \Gamma(k / 2)) +(1-k / 2) \psi(k / 2)$
矩生成函数
$(1-2 t)^{-k / 2}, 2 t<1$
特征函数
$(1-2 i t)^{-k / 2}$
可加性由定义可得，独立卡方变量之和同样服从卡方分布。特别地，若 X_{1}, X_{2}, \ldots X_{n} 分别独立服从自由度为 k_{1}, k_{2}, \ldots k_{n} 的卡方分布，那么它们的和 \sum_{i=1}^{n} X_{i} 服从自由度为 \sum_{i=1}^{n} k_{i} 的卡方分布。
卡方分布表χ2越大，p-value越小，则可信度越高。通常用p=0.05作为阈值，即95%的可信度。
自由度k \ P value （概率）
0.95
0.90
0.80
0.70
0.50
0.30
0.20
0.10
0.05
0.01
0.001
1
0.004
0.02
0.06
0.15
0.46
1.07
1.64
2.71
3.84
6.64
10.83
2
0.10
0.21
0.45
0.71
1.39
2.41
3.22
4.60
5.99
9.21
13.82
3
0.35
0.58
1.01
1.42
2.37
3.66
4.64
6.25
7.82
11.34
16.27
4
0.71
1.06
1.65
2.20
3.36
4.88
5.99
7.78
9.49
13.28
18.47
5
1.14
1.61
2.34
3.00
4.35
6.06
7.29
9.24
11.07
15.09
20.52
6
1.63
2.20
3.07
3.83
5.35
7.23
8.56
10.64
12.59
16.81
22.46
7
2.17
2.83
3.82
4.67
6.35
8.38
9.80
12.02
14.07
18.48
24.32
8
2.73
3.49
4.59
5.53
7.34
9.52
11.03
13.36
15.51
20.09
26.12
9
3.32
4.17
5.38
6.39
8.34
10.66
12.24
14.68
16.92
21.67
27.88
10
3.94
4.86
6.18
7.27
9.34
11.78
13.44
15.99
18.31
23.21
29.59
参考资料https://zh.wikipedia.org/zh-cn/卡方分佈 文章链接：
https://cloud.tencent.com/developer/article/2354787