线性回归计算器
线性回归计算器
欢迎来到线性回归计算器，这是一个综合统计工具，可计算最小二乘回归线、相关系数、R平方值，并提供带有分步公式分解的交互式散点图可视化。无论您是为研究、业务预测还是学术研究进行数据分析，此计算器都能提供专业级的统计分析。
什么是线性回归？
线性回归是一种基本的统计方法，用于通过拟合线性方程到观察数据来模型化因变量（Y）和一个自变量（X）之间的关系。该方法通过最小化残差平方和（观察值和预测值之间的差异）来找到通过数据点的最佳拟合直线。
回归方程
简单线性回归模型
$$\hat{Y} = b_0 + b_1 X$$
其中：
Y（或Y-hat） = 因变量的预测值
X = 自变量（预测器）
b₀ = Y截距（当X = 0时Y的值）
b₁ = 斜率（X每个单位变化时Y的变化）
如何计算线性回归
计算斜率（b₁）
斜率公式
$$b_1 = \frac{n\sum x_i y_i - \sum x_i \sum y_i}{n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2}$$
计算Y截距（b₀）
截距公式
$$b_0 = \bar{y} - b_1 \bar{x}$$
其中x-bar和y-bar分别是X和Y的均值。
理解相关性和R平方
相关系数（r）
相关系数衡量X和Y之间线性关系的强度和方向。其范围从-1到+1：
r值解释
0.9到1.0非常强的正相关
0.7到0.9强正相关
0.5到0.7中等正相关
0.3到0.5弱正相关
-0.3到0.3几乎无相关
-0.5到-0.3弱负相关
-0.7到-0.5中等负相关
-0.9到-0.7强负相关
-1.0到-0.9非常强的负相关
R平方（确定系数）
R平方（R²）表示Y中由X解释的方差比例。例如，R² = 0.85表示Y中85%的方差可以由X与之间的线性关系解释。
R平方公式
$$R^2 = r^2 = 1 - \frac{SS_{residual}}{SS_{total}}$$
如何使用此计算器
输入X值： 在第一个文本区中输入您的自变量数据，用逗号、空格或换行符分隔。
输入Y值： 在第二个文本区中输入您的因变量数据。Y值的数量必须与X值匹配。
预测（可选）： 输入X值以使用回归方程预测相应的Y值。
设置精度： 为结果选择小数位数。
计算： 点击计算按钮以查看回归方程、散点图、相关统计和分步计算。
理解您的结果
主要结果
回归方程： 最佳拟合线方程（Y = b₀ + b₁X）
斜率（b₁）： X每个单位变化时Y的变化率
截距（b₀）： 当X等于零时的预测Y值
相关系数（r）： 线性关系的强度和方向
R平方（R²）： 模型解释的方差比例
附加统计
估计的标准误： 数据点距离回归线的平均距离
斜率的标准误： 斜率估计中的不确定性
平方和： 总的、回归的和残差平方和
残差： 观察的Y值和预测的Y值之间的差异
线性回归的应用
商业和金融
根据广告支出预测销售
从市场指标预测股票价格
根据生产量估计成本
科学和研究
分析实验中变量之间的关系
校准测量仪器
研究药理学中的剂量-反应关系
经济学
建模供给和需求关系
分析利率对投资的影响
研究收入与消费模式
社会科学
教育研究（学习时数vs测试成绩）
心理学研究（年龄vs反应时间）
人口统计学（人口vs资源消耗）
线性回归的假设
为了获得可靠的结果，线性回归假设：
线性性： X和Y之间的关系是线性的
独立性： 观察相互独立
同方差性： 残差在所有X值中有恒定的方差
正态性： 残差近似正态分布
无多重共线性：（对于多元回归）自变量之间不高度相关
常见问题
什么是线性回归？
线性回归是一种统计方法，用于通过拟合线性方程到观察数据来模型化因变量（Y）和一个自变量（X）之间的关系。方程的形式为Y = b₀ + b₁X，其中b₀是Y截距，b₁是斜率。它找到最佳拟合线，最小化观察值和预测值之间的平方差之和。
我如何解释线性回归中的斜率？
斜率（b₁）表示对于自变量X每增加一个单位，因变量Y的变化。正斜率表示当X增加时Y增加，负斜率表示当X增加时Y减少。
什么是R平方，它意味着什么？
R平方（R²）也称为确定系数，衡量回归线对数据的拟合程度。其范围从0到1，其中0表示模型不能解释任何变异性，1表示解释所有变异性。通常，R²大于0.7表示良好拟合。
相关系数（r）和R平方之间有什么区别？
相关系数（r）衡量X和Y之间线性关系的强度和方向，范围从-1到+1。R平方（R²）是r²，代表解释的方差比例。当r告诉您方向（正或负关系）时，R²只告诉您解释了多少方差。
我需要多少个数据点进行线性回归？
从技术上讲，您需要至少2个数据点来计算回归线，但这不提供任何自由度用于错误估计。为了进行有意义的统计分析，您应该至少有10-20个数据点。更多数据点通常会导致更可靠的估计。
线性回归中的残差是什么？
残差是观察的Y值和回归线预测的Y值之间的差异（残差=观察Y-预测Y）。分析残差有助于评估模型对数据的拟合程度。理想情况下，残差应该随机分散在零周围，没有明显的模式。
其他资源
线性回归 - 维基百科
确定系数 - 维基百科
皮尔逊相关系数 - 维基百科
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由 miniwebtool 团队提供。更新时间：2026年1月17日